Số Fibonacci ẩn trong sự kỳ lạ

McDuff và Schlenk đã cố gắng tìm ra khi nào họ có thể lắp một ellipsoid tổng hợp — một đốm màu dài — bên trong một quả bóng. Loại bài toán này, được gọi là bài toán nhúng, khá dễ dàng trong hình học Euclid, nơi các hình dạng không bị uốn cong. Nó cũng đơn giản trong các lĩnh vực hình học con khác, nơi các hình có thể uốn cong tùy thích miễn là thể tích của chúng không thay đổi.

Hình học tổng hợp phức tạp hơn. Ở đây, câu trả lời phụ thuộc vào “độ lệch tâm” của ellipsoid, một con số biểu thị độ dài của nó. Một hình dạng dài, mỏng với độ lệch tâm cao có thể dễ dàng gấp lại thành hình dạng nhỏ gọn hơn, giống như một con rắn đang cuộn lại. Khi độ lệch tâm thấp, mọi thứ sẽ ít đơn giản hơn.

Bài báo năm 2012 của McDuff và Schlenk đã tính toán bán kính của quả bóng nhỏ nhất có thể phù hợp với nhiều hình elipsoit khác nhau. Giải pháp của họ giống như một cầu thang vô hạn dựa trên các số Fibonacci — một dãy số trong đó số tiếp theo luôn là tổng của hai số trước.

Sau khi McDuff và Schlenk công bố kết quả của họ, các nhà toán học đã tự hỏi: Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn thử nhúng ellipsoid của mình vào một thứ gì đó không phải là một quả bóng, chẳng hạn như một khối lập phương bốn chiều? Có nhiều cầu thang vô hạn hơn sẽ bật lên?

Một bất ngờ cuối cùng

Kết quả tăng vọt khi các nhà nghiên cứu phát hiện ra một vài cầu thang vô tận ở đây, một vài cầu thang nữa ở đó. Sau đó, vào năm 2019, Hiệp hội Phụ nữ Toán học đã tổ chức một hội thảo kéo dài một tuần về hình học tổng hợp. Tại sự kiện này, Holm và cộng sự của cô là Ana Rita Pires đã cùng nhau thành lập một nhóm làm việc bao gồm McDuff và Morgan Weiler, một tiến sĩ mới tốt nghiệp từ Đại học California, Berkeley. Họ bắt đầu nhúng ellipsoids vào một loại hình dạng có vô số hóa thân — cuối cùng cho phép họ tạo ra vô số cầu thang.

Để hình dung các hình dạng mà nhóm đã nghiên cứu, hãy nhớ rằng các hình khối tổng hợp đại diện cho một hệ thống các đối tượng chuyển động. Bởi vì trạng thái vật lý của một đối tượng sử dụng hai đại lượng – vị trí và vận tốc – các hình dạng tổng hợp luôn được mô tả bằng một số lượng biến số chẵn. Nói cách khác, chúng đều có chiều. Vì hình dạng hai chiều chỉ đại diện cho một đối tượng di chuyển dọc theo một đường cố định, nên các hình dạng bốn chiều hoặc nhiều hơn là điều hấp dẫn nhất đối với các nhà toán học.

Nhưng hình dạng bốn chiều là không thể hình dung, hạn chế nghiêm trọng bộ công cụ của các nhà toán học. Để khắc phục một phần, các nhà nghiên cứu đôi khi có thể vẽ các bức tranh hai chiều thu được ít nhất một số thông tin về hình dạng. Theo các quy tắc để tạo ra những bức tranh 2D này, một quả bóng bốn chiều sẽ trở thành một tam giác vuông.

Những hình dạng mà nhóm của Holm và Pires phân tích được gọi là bề mặt Hirzebruch. Mỗi bề mặt Hirzebruch có được bằng cách cắt góc trên cùng của tam giác vuông này. Một số, b, đo lường số tiền bạn đã cắt. Khi nào b là 0, bạn chưa cắt bất cứ thứ gì; khi nó là 1, bạn đã xóa gần như toàn bộ hình tam giác.

Ban đầu, những nỗ lực của nhóm dường như không mang lại kết quả. Weiler, hiện là postdoc tại Cornell, cho biết: “Chúng tôi đã dành một tuần để làm việc trên nó và chúng tôi không tìm thấy bất cứ điều gì. Đến đầu năm 2020, họ vẫn chưa đạt được nhiều thành tựu. McDuff nhớ lại một trong những gợi ý của Holm cho tiêu đề của bài báo mà họ sẽ viết: “Không có may mắn khi tìm được những chiếc cầu thang.”