Toán học mới về các mô hình nếp nhăn

Một vài phút trong một buổi nói chuyện năm 2018 tại Đại học Michigan, Ian Tobasco đã nhặt một tờ giấy lớn và vò nát nó thành một quả cầu hỗn loạn dường như đang ngổn ngang. Anh ta giơ nó lên cho khán giả xem, bóp cho đẹp, rồi lại trải ra.

“Tôi nhận được một khối lượng lớn các nếp gấp nổi lên, và đó là câu đố,” anh nói. “Điều gì chọn mẫu này từ một mẫu khác, có trật tự hơn?”

Sau đó, anh ta giơ một tờ giấy lớn thứ hai lên – tờ giấy này đã được gấp sẵn thành một mẫu hình bình hành origami nổi tiếng được gọi là Miura-ori – và ép nó phẳng. Anh ta nói rằng lực anh ta sử dụng trên mỗi tờ giấy là như nhau, nhưng kết quả không thể khác hơn. Miura-ori được chia thành các vùng hình học; quả bóng nhàu nát là một mớ hỗn độn của những đường răng cưa.

“Bạn có cảm giác rằng điều này,” anh nói, chỉ vào sự sắp xếp rải rác của các nếp gấp trên tờ giấy nhàu nát, “chỉ là một phiên bản ngẫu nhiên của thứ này.” Ông chỉ ra Miura-ori gọn gàng, trật tự. “Nhưng chúng tôi chưa đặt ngón tay vào việc điều đó có đúng hay không.”

Việc tạo ra kết nối đó sẽ không đòi hỏi gì khác hơn là thiết lập các quy tắc toán học phổ quát của các mẫu đàn hồi. Tobasco đã nghiên cứu vấn đề này trong nhiều năm, nghiên cứu các phương trình mô tả các vật liệu đàn hồi mỏng — thứ phản ứng với sự biến dạng bằng cách cố gắng đàn hồi trở lại hình dạng ban đầu của nó. Chọc một quả bóng đủ mạnh và một nếp nhăn xuyên tâm hình sao sẽ hình thành; loại bỏ ngón tay của bạn và chúng sẽ mịn trở lại. Bóp một viên giấy nhàu nát và nó sẽ nở ra khi bạn thả ra (mặc dù nó sẽ không hoàn toàn không bị phồng). Các kỹ sư và nhà vật lý đã nghiên cứu cách những mô hình này xuất hiện trong những hoàn cảnh nhất định, nhưng đối với một nhà toán học, những kết quả thực tế đó gợi ý một câu hỏi cơ bản hơn: Liệu có thể hiểu, nói chung, cái gì chọn một mẫu này hơn là một mẫu khác?

Vào tháng 1 năm 2021, Tobasco đã xuất bản một bài báo trả lời câu hỏi đó theo cách khẳng định — ít nhất là trong trường hợp một tấm đàn hồi, trơn, cong được ép thành phẳng (một tình huống cung cấp một cách rõ ràng để khám phá câu hỏi). Các phương trình của ông dự đoán các nếp nhăn dường như ngẫu nhiên chứa các miền “có trật tự”, có dạng lặp lại, có thể nhận dạng được. Và ông đã viết một bài báo, được xuất bản vào tháng 8, cho thấy một lý thuyết vật lý mới, dựa trên nền tảng toán học nghiêm ngặt, có thể dự đoán các mẫu trong các tình huống thực tế.

Đáng chú ý, công trình của Tobasco cho thấy rằng nhăn, dưới nhiều hình thức của nó, có thể được coi là giải pháp cho một vấn đề hình học. Stefan Müller thuộc Trung tâm Toán học Hausdorff của Đại học Bonn ở Đức cho biết: “Đó là một phần tuyệt vời của phân tích toán học.

Lần đầu tiên nó đưa ra một cách trang nhã các quy tắc toán học – và một sự hiểu biết mới – đằng sau hiện tượng phổ biến này. Robert Kohn, nhà toán học tại Viện Courant của Đại học New York và cố vấn trường đại học của Tobasco cho biết: “Vai trò của toán học ở đây không phải để chứng minh một phỏng đoán mà các nhà vật lý đã đưa ra. không có hiểu biết có hệ thống. ”

Kéo dài ra

Mục tiêu phát triển lý thuyết về nếp nhăn và mô hình đàn hồi là một lý thuyết cũ. Năm 1894, trong một bài đánh giá ở Thiên nhiênnhà toán học George Greenhill đã chỉ ra sự khác biệt giữa các nhà lý thuyết (“Chúng ta phải nghĩ gì?”) và các ứng dụng hữu ích mà họ có thể tìm ra (“Chúng ta phải làm gì?”).

Trong thế kỷ 19 và 20, các nhà khoa học phần lớn đã đạt được tiến bộ trong lĩnh vực này, nghiên cứu các vấn đề liên quan đến các nếp nhăn trên các vật thể cụ thể đang bị biến dạng. Các ví dụ ban đầu bao gồm vấn đề rèn các tấm kim loại trơn, cong cho các tàu đi biển, và cố gắng kết nối sự hình thành núi với sự nóng lên của vỏ Trái đất.